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第10回 実験計画はお早めに―完全無作為化法

実験計画法の基本原則

農業実験は農作物の食料生産と品質管理にとって不可欠です．しかし，今から一世紀前，農業実験を正確に実施するための科学的な基本方針がまったくなく，現場の実験者たちに委ねられていたのが実情でした．イギリスのロザムステッド農業試験場に所属していた生物統計学者ロナルド・フィッシャー （Ronald A. Fisher，1890〜1962） は，1920年代に，のちに実験計画法 （experimental design） とよばれる理論体系のもとになる論文を出版しました．「野外実験の準備」 と題されたこの論文1）には，今なお有効な実験計画の次の三原理の理念が提唱されていました：

①反復実施：

同一実験処理を複数回実施することにより，その処理にともなうばらつきを評価する．

②無作為化：

実験処理区のランダムな配置をすることにより，背景要因によるデータへの体系的な影響を偶然誤差化する．

③局所管理：

実験場所を適切にブロック分割することにより，ブロック内の実験環境の均一化をはかる．

フィッシャーが提唱した実験計画の三原理は，農業実験にかぎらず，あらゆる分野での実験のプランニングをする際の統計学的なガイドラインとして常に目配りする必要があります．その理由は，綿密な設計を怠ったまま実験を実施したとき，得られたデータが統計学的な分析にかけられないリスクが高まるからです．その意味で，実験計画は，単にデータの解析法にとどまるわけではなく，むしろデータをとるための実験を思い立った最初の段階からすでにはじまっていると考えるべきでしょう．

なぜ試験区配置の無作為化が必要なのか

以下では，農業実験の実例の一つとして，Gomez and Gomez （1984）2）から雑虫剤試験の実例をとり上げ，実験計画の理念とその実践について説明を進めましょう．この殺虫剤試験は，対照群 （無処理群） を含めた7種類の殺虫剤 （a〜g） がイネの収量に対して及ぼす効果を調べるために，フィリピンの国際イネ研究所 （IRRI） で実際に行われた実験です．実験計画法では，ここでの殺虫剤は実験者がコントロールできる要因 （factor） であり，異なる殺虫剤はその要因を構成する水準 （level） とよばれます．

本実験では1要因7水準に関して4反復の試験区が設定されました．これは同一水準の実験が4回反復されるわけですから，フィッシャーの 「反復実施」 の原則が守られていることになります．7水準を4反復するためには合計28試験区が必要になります．図1は実験圃場における28試験区の配置を図示しています．ひと目でわかるように“無作為化”されたこの試験区配置はもちろんフィッシャーの 「無作為化」 の原則を踏まえています．無作為化配置がなぜ必要かは，無作為化されなかったならばどういう結末になるかを考えれば明白です．図2は無作為化されていない仮想的な試験区配置です．

この図2の試験区配置はすべての水準が端からきれいに並べられていますが，その点が致命的なリスクを抱える原因となります．たとえば，この圃場の水平方向に潜在的な土壌水位の勾配があって，左側ほど湿潤な試験区だったとします．殺虫剤の水準aはもっとも湿潤な試験区に集中的に配置されたことになります．収穫してみたところ，水準aの収量がとても多かったと仮定しましょう．このとき私たちは「殺虫剤aが効いたから高収量なのだ」と結論できるでしょうか．

そのとおりです．そしていかなる統計手法を駆使したとしても，水準aの効果と土壌水位の効果とを区別することはできません．試験区配置を無作為化しなかったために，水準と土壌水位という2つの要因効果が混じりあってしまったからです 〔実験計画法では交絡 （confounding） とよびます〕．要因間の交絡がある場合，その実験計画は最初からまちがっていたと結論するしかありません．実験計画の大切さがおわかりいただけたでしょうか？ 一方，図1の無作為化配置ではすべての水準は土壌水位の異なるさまざまな試験区に割り付けられているので，土壌水位のちがいとは独立に雑虫剤の効果を調べることが可能です．Fisherの無作為化の意義はここにあります．この図1に示されたような無作為化配置を含む実験計画は完全無作為化法とよばれています．

完全無作為化法の実験データと統計モデル

完全無作為化法にしたがって試験区が割り付けられた図1の殺虫剤試験では表1に示すような収量データが得られました．表1の左端には処理 （treatments） の水準が列挙されています．続く各行には反復された4データ値 （kg/ha） が並べられ，さらにその右側には水準ごとの処理和 （treatment total） と処理平均 （treatment mean） が計算されています．全体を集計した総和 （grand total） と総平均 （grand mean） が下段に記されています．

収量データが得られ，その集計がまとめられた時点で，実験計画法は次の段階に移ります．表1をよくみると，計28個それぞれのデータが多かれ少なかればらついていることはすぐにわかります．しかし，私たちの目的は一つひとつのデータのばらつきの観察にあるわけではありません．そもそもこの試験をやろうと思い立ったのは，イネの収量に対して各殺虫剤がどれくらい効くのかを知りたいという目的があったからでしょう．

得られたデータを統計解析するための方針は，実験計画を立てた時点で私たちが想定している線形統計モデル（linear statistical model）を確認することからはじまります．本例で仮定されている統計モデルは図3に示すとおりです．要するに，図3の統計モデルは，データ「xij」の総平均μのまわりのばらつきは処理要因 「αi 」 と誤差要因 「εij」 の2つの要因によって生じているものと解釈すると宣言しているわけです．

では，この線形統計モデルがデータのばらつきの原因を探るうえでどのように用いられるのでしょうか．それについては次回の記事で説明することにしましょう．

文献

• 1） Fisher RA：Journal of the Ministry of Agriculture of Great Britain, 33：503-513, 1926
• 2） Gomez KA & Gomez AA：Statistical Procedures for Agricultural Research, Second Edition. John Wiley & Sons, New York, 1984